Einführung in die Normalform einer Geradengleichung (Artikel) | Khan Academy (2024)

• Du solltest wissen, was lineare Gleichungen mit zwei Variablen sind.Insbesondere solltest du wissen, dass der Graph solcher Gleichungen eine Gerade ist. Wenn das neu für dich ist, dann betrachte unsere Einführung in Gleichungen mit zwei Variablen.

• Dir sollten auch die folgenden Eigenschaften von linearen Gleichungen bekannt sein:y‍-Achsenabschnitt und x‍-Achsenabschnitt und Steigung.

• Was ist die Normalform einer Geradengleichung von Gleichungen mit zwei Variablen

• Wie wir die Steigung und den $y$‍-Achsenabschnitt einer Geraden von ihrer Normalform der Geradengleichung ermitteln

• Wie wir die Gleichung einer Gerade ermitteln, wenn die Steigung und der $y$‍-Achsenabschnitt gegeben ist

Die Normalform ist eine spezielle Form von linearen Gleichungen. Sie hat die folgende allgemeine Struktur. Trommelwirbel ...

Hier können $m$‍ und $b$‍ beliebige reelle Zahlen sein. Zum Beispiel sind dies lineare Gleichungen in der Normalform:

• $y=2x+1$‍
• $y=-3x+2,7$‍
• $y=10-100x$‍

  Es ist wahr, dass diese Gleichung sich von der vorherigen unterscheidet, weil der konstante Term - d.h. die einfache Zahl - vor dem $x$‍-Term kommt.

  Weil aber die Addition kommutativ ist, ist dies im Wesentlichen die gleiche Form, Du kannst sagen, dass diese Gleichung von der Form $y=b+mx$‍ anstatt von $y=mx+b$‍ ist, aber diese bedeuten das Gleiche.

Auf der anderen Seite, diese linearen Gleichungen sind nicht in der Normalform:

• $2x+3y=5$‍
• $y-3=2(x-1)$‍
• $x=4y-7$‍

Die Normalform ist die bedeutendste Form von linearen Gleichungen. Wir wollen etwas tiefer graben um zu lernen warum das so ist.

Abgesehen davon dass sie schön und einfach ist, ist der Vorteil der Normalform, dass sie uns zwei Haupt-Merkmale der Gerade wiedergibt, die sie darstellt:

• Die Steigung ist $m$‍.

• Die $y$‍-Koordinate des $y$‍-Achsenabschnittes ist $b$‍. Mit anderen Worten ist der $y$‍-Achsenabschnitt der Gerade bei $(0|b)$‍.

Zum Beispiel hat die Gerade $y=2x+1$‍ eine Steigung von $2$‍ und einen $y$‍-Achsenabschnitt bei $(0|1)$‍:

Die Tatsache, dass diese Form uns die Steigung und den $y$‍-Achsenabschnitt wiedergibt, ist der Grund warum sie auch Steigungs-Achsenabschnitt-Form genannt wird!

Du wunderst dich vielleicht, wie es ist, dass in der Normalform, $m$‍ uns die Steigung angibt und $b$‍ uns den $y$‍-Achsenabschnitt.

Kann das eine Art von Magie sein? Gut es ist sicherlich nicht Magie. In der Mathematik gibt es immer eine Begründung. Bei diesem Thema schauen wir uns diese Eigenschaft an, indem wir die Gleichung $y=2x+1$‍ als Beispiel benutzen.

Bei dem $y$‍-Achsenabschnitt ist der $x$‍-Wert immer Null. Daher sollten wir, wenn wir den $y$‍-Achsenabschnitt von $y=2x+1$‍ herausfinden willen, $x=0$‍ setzen und nach $y$‍ auflösen.

Wir sehen, dass bei dem $y$‍-Acjsenabschnitt, $2x$‍ Null wird und daher bleibt $y=1$‍ übrig.

Wir wollen unsere Erinnerung darüber auffrischen, was eine Steigung genau ist, Die Steigung ist das Verhältnis der Veränderung in $y$‍ zu der Veränderung in $x$‍ zwischen zwei Punkten auf der Gerade.

Wenn wir zwei Punkte nehmen wo die Änderung in $x$‍ genau $1$‍ Einheit ist, dann ist die Änderung in $y$‍ gleich der Steigung selbst.

Nun schauen wir uns an was mit den $y$‍-Werten in der Gleichung $y=2x+1$‍ passiert, wenn die $x$‍-Werte konstant um $1$‍ Einheit ansteigen.

Wir sehen, dass jedes Mail wenn $x$‍ um $1$‍ Einheit ansteigt, $y$‍ um $2$‍ Einheiten ansteigt. Dies ist so, weil $x$‍ die Vielfachen von $2$‍ bei der Berechnung von $y$‍ festlegt.

Wir oben angegeben, ist die Änderung in $y$‍, die dem Ansteigen von $X$‍ um $1$‍ Einheit entspricht gleich der Steigung der Gerade. Aus diesem Grund ist die Steigung $2$‍.